利用齐次变换,位置矢量和旋转矩阵可以用更加简洁的方式结合在一起。如果 坐标系相对于 坐标系的位置和姿态已知,那么 坐标系中的任一矢量 也可以表示为 坐标系中的矢量。坐标系 的原点相对于坐标系 的位置可表示为矢量 。 坐标系 相对于坐标系 的姿态可用 表示。这样,
该方程可重写为
其中 是 的齐次变换矩阵。( 和 是位置矢量 和 的齐次表示。矩阵 将坐标系 中的矢量变换为坐标系 中的矢量,其逆矩阵 将坐标系 中的矢量变换为坐标系 中的矢量。
齐次变换矩阵的代数运算只是简单的矩阵相乘, 正如 的旋转矩阵一样。因此,有 成 立。由于矩阵乘法不能交换,所以其顺序非常重要。
绕一个轴的纯旋转的齐次变换有时记为 。于 是,绕轴 旋转 角度记为
类似地, 沿一个轴的纯平移有时记为 Trans。于 是, 沿轴 平移 记为
当希望符号简洁时, 当编程的容易程度是Zui需要考虑的因素时, 齐次变换是特别具有吸引力的。但是, 由于它引人了大量含有 0 和 1的附加乘法运算, 所以它并不是一种计算效率好的表示。尽管齐次变换矩阵具有16 个元素, 但有 4 个元素被定义为 0 或 1 ,剩余的元素则包括一个旋转矩阵和一个位置矢量。因此, 真正的冗余坐标来自旋转矩阵部分, 相应的辅助关系也与旋转矩阵有关。
